TOPOLOGIE - Topologie différentielle

TOPOLOGIE - Topologie différentielle

La topologie différentielle, que l’on devrait plutôt appeler «topologie des variétés », est une discipline mathématique assez ancienne par les problèmes qu’elle cherche à résoudre: ils étaient presque tous posés au début du siècle; mais ses théorèmes sont souvent postérieurs à 1950, car leurs démonstrations utilisent des techniques très élaborées. On ne peut pas prétendre esquisser ici ces démonstrations; c’est pourquoi l’essentiel de ce qui suit est un catalogue de résultats. On étudiera d’abord deux problèmes dont l’énoncé est concret: la classification des surfaces et le problème des nœuds de S¹ dans R³; l’exposé qui en est donné se veut accessible au lecteur connaissant très peu les mathématiques (il faut toutefois que soient familières les notions de groupe et de déterminant pour bien comprendre ce qui concerne les nœuds); mais, en contrepartie, il déplaira peut-être aux mathématiciens les plus rigoristes. On trouvera ensuite l’étude de la classification des variétés de dimension n et des problèmes relatifs aux plongements des variétés; ce sont les problèmes généraux qui correspondent, en dimension quelconque, aux deux précédents. Enfin, on pourra se faire une idée des méthodes propres à la topologie différentielle moderne en lisant ce qui concerne la transversalité. Il va sans dire que cet exposé ne tient aucun compte de l’ordre logique dans lequel on démontre les divers théorèmes. Les notations adoptées ici sont les mêmes que dans l’article précédent.

1. Théorie des surfaces

On appelle surface un espace topologique (par exemple un sous-espace de R³, l’espace de la géométrie élémentaire) dans lequel chaque point a un voisinage homéomorphe au disque fermé. Toutes les surfaces que l’on considérera seront connexes et compactes, c’est-à-dire sans branches non bornées; elles peuvent avoir un bord. On se propose de trouver une méthode pour reconnaître si deux surfaces sont homéomorphes.

On appellera courbe simple tracée sur une surface l’image d’une application continue injective du cercle dans l’intérieur de , c’est-à-dire dans le complémentaire du bord. On démontre que, si x est un point d’une courbe simple C tracée sur , il existe un voisinage U de x dans tel que (U, U 惡 C) soit homéomorphe au couple formé d’un disque plan ouvert et d’un de ses diamètres (fig. 1).

Orientation

Soit une surface solide plongée dans R³ et soit C une courbe simple tracée sur . Considérons un observateur qui parcourt la courbe «en marchant sur la surface» et qui, partant d’un point x , revient en ce point après un tour complet: ou bien, après ce tour, il marche du même côté de la surface que quand il est parti (c’est le cas pour la courbe 塚⁰ tracée sur le cylindre 靖⁰ de la figure 2), ou bien il marche sur l’autre côté, comme c’est le cas pour la courbe 塚¹ tracée sur la bande de Möbius (cf. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES, chap. 1) de la figure 2; dans ce second cas, la surface n’a pas deux faces. On montre que toute courbe simple tracée sur une surface, plongée ou non dans R³, possède un voisinage 行 tel que ( 行, C) soit homéomorphe ou bien à ( 靖⁰, 塚⁰), ou bien à ( 靖¹, 塚¹). Si toute courbe simple tracée sur a un voisinage homéomorphe à un cylindre, on dit que est bilatère ou orientable . S’il existe sur une courbe qui a un voisinage homéomorphe à une bande de Möbius, on dit qu’elle est unilatère ou non orientable . Cette notion d’orientabilité coïncide avec celle qui est définie dans l’article VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES.

Genre

Si on découpe une surface (connexe) le long d’une courbe simple C, il peut arriver que la surface que l’on obtient soit encore connexe (par exemple, si l’on coupe le tore suivant un cercle méridien comme le représente la figure 3 a), ou il peut arriver que la surface obtenue soit partagée en deux morceaux (par exemple, si l’on coupe la sphère S² suivant un grand cercle: figure 3 b). Le cas de la bande de Möbius est très surprenant: si l’on coupe la bande en son milieu, on obtient une bande ordinaire à deux faces, tandis que si on la coupe suivant une ligne tracée au tiers de sa largeur, on obtient une bande de Möbius enlacée avec une surface homéomorphe à un cylindre (donc orientable) mais tordue (fig. 4).

On appelle genre d’une surface le nombre maximal de coupures que l’on peut faire successivement de telle façon que la surface obtenue soit encore connexe (fig. 5). Par exemple, le genre de la bande de Möbius est au moins égal à 1; et toute surface non orientable est de genre au moins égal à 1 puisqu’elle contient une bande de Möbius.

Surfaces de genre 0

C. Jordan a démontré que la sphère S² est de genre 0. On prouve que, si une surface est de genre 0, elle est homéomorphe à ce qui reste d’une sphère quand on a enlevé les intérieurs d’un certain nombre de calottes sphériques disjointes. Par conséquent, si, pour toute surface , on note d ( ) le nombre des cercles qui composent son bord, on peut énoncer le théorème suivant: Deux surfaces orientables et de genre 0 sont homéomorphes si et seulement si d ( ) = d ( ).

Si on fait sur orientable une coupure qui la transforme en une surface connexe , on a g ( ) = g ( ) + 1; donc, pour calculer le genre de , il suffit de compter le nombre de coupures que l’on doit faire pour la transformer en une surface homéomorphe à une partie de S² (ou de R²).

Le théorème de classification

Théorème . Pour que deux surfaces et soient homéomorphes, il faut et il suffit que g ( ) = g ( ), que d ( ) = d ( ) et qu’elles soient toutes deux orientables ou toutes deux non orientables.

Cela résout complètement le problème que l’on s’était posé. Pour tout d 閭 0 et tout g 閭 0, il existe une surface orientable ^{+d , g} (et une seule à homéomorphisme près) telle que d ( ^{+d , g} ) = d et g ( ^{+d , g} ) = g . Si d = 0, cette surface est le bord du domaine de R³ obtenu en ajoutant g anses à une boule de R³; la surface ^{+d , g} est obtenue en perçant d trous dans ^{+0, g} (fig. 6).

Pour tout d 閭 0 et tout g 閭 1, il existe une surface unilatère ^{-d , g} (et une seule à homéomorphisme près) telle que l’on ait d ( ^{-d , g} ) = d et g ( ^{-d , g} ) = g . On l’obtient en recollant une bande de Möbius (dont le bord est homéomorphe à un cercle!) le long de l’un des cercles formant le bord de ^{+d +1, g} size=1^漣1 (fig. 7).

On remarque que toutes les surfaces orientables sont réalisables dans R³, ainsi que les surfaces non orientables dont le bord est non vide. On peut montrer inversement que les surfaces non orientables sans bord ne sont pas réalisables dans R³. Toutes les prétendues représentations de la bouteille de Klein ^{-0, 1} sont donc seulement indicatives, car la réalisation concrète de cette surface dans l’espace R³ se heurte à des difficultés insolubles d’intersection.

Cette classification montre aussi que toute surface est homéomorphe à une variété 暈 秊 de dimension 2 (cf. chap. 3 ci-dessous).

2. Nœuds de S¹ dans R³

Le problème des nœuds est peut-être la question de topologie dont l’énoncé est le plus simple; on va voir qu’il n’est encore que partiellement résolu. Un nœud est ce que l’on obtient en prenant une ficelle (éventuellement emmêlée!) et en recollant les deux extrémités. En termes mathématiques, c’est un sous-espace N de R³, homéomorphe au cercle S¹ et tel que tout point x de N possède un voisinage 行 dans R³ tel que ( 行, 行 惡 N) soit homéomorphe à la figure formée par une boule ouverte et un de ses diamètres.

On se pose le problème suivant: Étant donné deux nœuds N et N , existe-t-il un homéomorphisme orienté de R³ sur lui-même qui applique N sur N ? Avec les notations du chapitre 4 ci-dessous, cela revient à se demander si les deux plongements de S¹ dans R³ d’images N et N sont isotopes parmi les plongements topologiques. Physiquement, on se demande si, sans détacher leurs extrémités, on peut amener les deux ficelles l’une sur l’autre. Si deux nœuds sont ainsi isotopes, on dira qu’ils sont équivalents. Il est clair que tous les nœuds plans sont équivalents; leur classe d’équivalence est appelée la classe triviale .

Projection d’un nœud

On démontre que tout nœud ⁰ est équivalent à un nœud N qui est une ligne brisée. On projette N sur un plan P; en choisissant bien la direction de cette projection, on peut s’arranger pour que:

a ) les images des sommets de N soient distinctes (donc tous les côtés du nœud N se projettent suivant des segments),

b ) la projection n’ait que des points simples et des points doubles (et les seuls points doubles sont des points où les projections de deux côtés se coupent transversalement).

La classe du nœud est entièrement déterminée par l’image de cette projection à condition que, pour tout point double, on précise celle des deux branches qui passe au-dessus: ce que l’on indique sur la figure 8 en interrompant la branche qui passe en dessous.

On obtient ainsi une représentation plane du nœud considéré. Cette représentation n’est bien sûr pas unique: elle dépend de la projection choisie.

Groupe d’un nœud

On appelle groupe du nœud N le groupe de Poincaré (cf. TOPOLOGIE – Topologie algébrique, chap. 1) G de R³ 漣 N. Ce groupe est en général non commutatif; le groupe commutatif associé est le premier groupe d’homologie de R³ 漣 N (à coefficients entiers) qui, d’après les théorèmes de dualité du chapitre 3 ci-dessous, est isomorphe à Z. Il est clair que ce groupe ne dépend que de la classe du nœud N.

Considérons la représentation plane du nœud N; compte tenu des coupures que l’on a faites, elle est formée d’un certain nombre d’arcs. Orientons N; on en déduit une orientation de chacun de ces arcs. Soit X l’un d’entre eux et soit C^X un petit cercle faisant le tour de l’arc de N qui se projette sur X; ce cercle C^X est orienté (par le bonhomme d’Ampère); c’est un lacet de R³ 漣 N et on en fait un lacet d’origine et d’extrémité O, le point O étant le point de base choisi dans R³ 漣 N, grâce à un chemin 塚^X qui joint O à un point de C^X (fig. 9). On obtient ainsi, pour tout arc X, un élément x de 神¹(R³ 漣 N, O) = G; cet élément dépend du choix de 塚^X et est défini à conjugaison près.

On démontre que, par un choix adéquat des chemins 塚^X, on peut s’arranger pour que les éléments de G ainsi obtenus engendrent G. À tout point d’intersection de la projection de la forme 1 (fig. 8) on associe la relation ca = bc ; à tout point d’intersection de la projection de la forme 2 (fig. 8) on associe la relation ac = cb . On démontre que toutes les relations qui existent entre les générateurs que l’on a écrits découlent de ces relations élémentaires. La représentation plane du nœud permet donc de décrire son groupe par générateurs et par relations.

Le théorème de Dehn

C’est M. Dehn qui a introduit en 1915 la notion de groupe d’un nœud; il affirma qu’un nœud est trivial si et seulement si son groupe est isomorphe à Z, mais sa démonstration était fausse et ce n’est que vers 1960 que ce théorème fut complètement démontré.

On peut se demander si, de façon générale, deux nœuds qui ont des groupes isomorphes sont équivalents: il n’en est rien; on peut, en particulier, démontrer que les nœuds décrits aux exemples 3 et 4 donnés ci-dessous ne sont pas équivalents.

Le polynôme d’Alexander

Le problème de déterminer si deux groupes définis par générateurs et relations sont isomorphes n’a en général pas de solution; pour essayer de résoudre ce problème, J. W. Alexander a associé un polynôme à chaque groupe défini par générateurs et relations. Pour que deux nœuds soient équivalents, il faut qu’ils aient même polynôme d’Alexander, mais l’égalité des polynômes d’Alexander ne prouve même pas que les groupes sont isomorphes (cf. exemples 5 et 6 ci-dessous). Donnons la construction du polynôme d’Alexander: Notons a ¹, ..., a ⁿ les générateurs du groupe; toute relation peut se mettre sous la forme:

où les 﨎ⁱ sont égaux soit à + 1, soit à 漣 1. Pour tout j , avec 1 諒 j 諒 n , on pose:

où 嗀^jk est égal à + 1 si j = k et à 0 si j k .

Dans la construction que l’on a donnée du groupe d’un nœud, il y a autant de relations R¹, ..., Rⁿ que de générateurs (car il y a autant de points d’intersection que d’arcs); donc les D^j Rⁱ forment une matrice carrée d’ordre n ; le polynôme d’Alexander est le plus grand commun diviseur des déterminants d’ordre n – 1 que l’on peut extraire de cette matrice. C’est un polynôme P à coefficients entiers. Il est possible de normaliser le polynôme d’Alexander de façon à avoir P(1) = 1; on montre qu’il existe un entier k tel que P(1/t ) = t ^-k P(t ).

Exemples

1. Le nœud trivial (fig. 10) est le nœud à un seul générateur a , sans relation; son polynôme d’Alexander est P(t ) = 1.

2. Le nœud de trèfle (fig. 10) a trois générateurs a , b et c , satisfaisant aux trois relations ba = cb , cb = ac et ac = ba , que l’on peut encore écrire:

on en déduit la matrice:

et le polynôme:

3. Le premier nœud représenté sur la figure 11 a six générateurs a , b , c , d , e , f et six relations: ba = ac , ac = cb , cb = bd , ed = df , df = fe et fe = ea .

De ces relations on déduit a = d , c = a ^-1ba et f = d ^-1ed ; donc le groupe est encore engendré par a , b et e , avec les relations aba = bab et aea = eae . On en déduit:

4. Le second nœud représenté sur la figure 11 a six générateurs a , b , c , d , e , f et six relations: bc = ca , db = bc , db = cd , de = fd , ef =fa et ef = de .

De ces relations on déduit a = d , c = aba ^-1 et f = aea ^-1; donc le groupe est encore engendré par a , b et e , avec les relations aba = bab et aea = eae . On trouve donc un groupe isomorphe à celui de l’exemple 3.

Mais des méthodes plus fines permettent de démontrer que les deux nœuds ne sont pas équivalents.

5. Après réduction, on s’aperçoit que le groupe du nœud représenté en haut sur la figure 12 est engendré par x et y , avec la relation:

On en déduit le polynôme:

6. Après réduction, on s’aperçoit que le groupe du nœud représenté en bas sur la figure 12 est engendré par x , y et z , avec les relations:

On en déduit le polynôme:

C’est le même polynôme que celui de l’exemple 5; pourtant, on peut démontrer que les groupes ne sont pas isomorphes.

3. Classification des variétés

La classification des surfaces était connue avant Henri Poincaré ; c’est donc tout naturellement que celui-ci essaya de classifier les variétés de dimension 3; il posa, en particulier, la question suivante: Existe-t-il des variétés connexes compactes sans bord de dimension 3 qui ne sont pas homéomorphes à la sphère S³? Ce problème, qui n’est toujours pas résolu, est à l’origine d’un grand nombre des théorèmes de structure de la topologie différentielle.

Dualité de Poincaré

Poincaré a démontré que, si une variété V de dimension n est orientable, pour tout entier k ses nombres de Betti b ^k et b ^{n -k} sont égaux, ainsi d’ailleurs que ses nombres de Betti r ^k et r ^{n -k} modulo p . La considération des groupes d’homologie permet de préciser ce résultat de la façon suivante: Pour toute variété V orientée compacte sans bord de dimension n et pour tout k , il existe un isomorphisme de H^k (V, Z) sur H^{n -k} (V, Z).

Si V est non orientable, on peut seulement démontrer que H^k (V, Z/2Z) et H^{n -k} (V, Z/2Z) sont isomorphes. Si V a un bord, on peut démontrer un théorème analogue en faisant intervenir l’homologie (ou la cohomologie) de V modulo son bord.

Ce théorème de dualité entraîne que, si la variété V est compacte de dimension n , le groupe Hⁿ (V, d V, Z) est isomorphe à Z quand V est orientable et est nul quand V est non orientable.

Le problème de Poincaré

Soit V une variété compacte, simplement connexe, sans bord, de dimension 3. Le groupe H¹(V, Z) est nul d’après le théorème de Hurewicz (cf. TOPOLOGIE – Topologie algébrique, chap. 3); on en déduit que H¹(V, Z) est nul et, par dualité de Poincaré, que H²(V, Z) est nul aussi. Par une nouvelle application du théorème de Hurewicz, on montre que 神²(V) est nul et que 神³(V) est isomorphe à H³(V, Z), qui est lui-même isomorphe à Z puisque V est orientable. Il en résulte alors, d’après le théorème de Whitehead (cf. TOPOLOGIE – Topologie algébrique, chap. 3), que l’on peut construire une équivalence d’homotopie 﨏: S³V.

C’est tout ce que l’on peut dire des variétés simplement connexes de dimension 3. Toutes les recherches pour montrer qu’une telle variété V est homéomorphe à S³ sont restées vaines. On peut démontrer que ce problème est équivalent à une conjecture algébrique, d’énoncé assez simple mais que l’on ne sait pas démontrer.

On peut se poser, de façon plus générale, les deux questions suivantes: Soit V une variété de classe 暈¹, compacte, sans bord, de dimension n , qui a le type d’homotopie de Sⁿ ; existe-t-il un homéomorphisme de V sur Sⁿ ? existe-t-il un difféomorphisme de V sur Sⁿ ? C’est le problème de Poincaré généralisé; on va voir que, assez curieusement, il a été résolu pour n grand, alors qu’il ne l’est pas pour n = 3.

Le h-cobordisme

Soit X et X deux variétés de classe 暈¹, compactes, sans bord, de dimension n ; on dit que la variété W, de classe 暈¹, compacte, de dimension n + 1, est un h -cobordisme entre X et X , si le bord de W est la réunion disjointe de X et de X , et on dit que les injections de X et X dans W sont des équivalences d’homotopie. S. Smale a démontré, en 1958, en utilisant la théorie de Morse (cf. chap. 5), que, si W est un h -cobordisme entre deux variétés X et X , simplement connexes, de dimension au moins égale à 5, il existe un difféomorphisme de W sur X 憐 I qui identifie X à X 憐0 et dont la restriction à X est un difféomorphisme de X sur X 憐1.

On en déduit que toute variété V de classe 暈¹, compacte, sans bord, de dimension n 閭 6, qui a le type d’homotopie de Sⁿ , est homéomorphe à Sⁿ : on enlève à V les intérieurs de deux fermés disjoints isomorphes à la boule Bⁿ ; on obtient une variété W qui est un h -cobordisme entre deux exemplaires de S^{n -1}; comme S^{n -1} est simplement connexe et de dimension au moins 5, cet h -cobordisme est difféomorphe à S^{n -1} 憐 I; donc V est la réunion de deux boules Bⁿ recollées par leur bord. Il en résulte que V est homéomorphe à Sⁿ . Par d’autres méthodes, on démontre que toute variété topologique compacte, sans bord, de dimension n (c’est-à-dire tout espace compact localement homéomorphe à Rⁿ ), qui a le type d’homotopie de Sⁿ , est homéomorphe à Sⁿ pourvu que n 閭 5.

Chirurgie

Considérons les variétés de classe 暈¹, compactes, sans bord, orientées, de dimension n , qui ont le type d’homotopie de Sⁿ . Deux telles variétés V et V sont considérées comme équivalentes s’il existe un difféomorphisme de V sur V qui respecte l’orientation; l’ensemble des classes d’équivalence sera noté ⁿ ; c’est l’ensemble des classes, à isomorphisme près, des variétés qui ont le type d’homotopie de Sⁿ . En 1956, J. Milnor démontra que ⁷ a au moins vingt-huit éléments; vers 1960, en collaboration avec M. Kervaire, il améliora sa méthode pour compter le nombre des éléments de ⁿ pour n 閭 5. On sait maintenant que ⁵ et ⁶ ont un seul élément; donc deux variétés de classe 暈¹ de dimension 5 ou 6 qui ont le type d’homotopie de S⁵ ou S⁶ sont difféomorphes. On sait aussi que ⁿ est toujours fini. Ces calculs nécessitent des méthodes trop compliquées pour être exposées ici; elles sont connues sous le nom de «chirurgie» et ont été généralisées pour l’étude des classes de variétés ayant le type d’homotopie d’une variété de dimension n (face=F0019 閭 5) quelconque.

Structures différentiables

On appelle variété topologique de dimension n un espace topologique séparé qui est localement homéomorphe à Rⁿ . Les méthodes de la chirurgie mettent en évidence les deux faits suivants:

a ) Il existe des variétés topologiques sur lesquelles il n’est pas possible de définir une structure de variété différentiable:

b ) Une variété topologique peut être munie de deux structures différentiables donnant des variétés différentiables qui ne sont pas difféomorphes.

On a pu classer complètement les structures différentiables existant sur les variétés topologiques de dimension différente de 4. Toute variété topologique de dimension au plus 3 possède une structure différentiable, unique à difféomorphisme près; il n’en est plus de même en grande dimension. Dans cette étude, il est commode d’introduire les variétés semi-linéaires, c’est-à-dire les polyèdres qui sont localement semi-linéairement homéomorphes à Rⁿ ; elles forment une catégorie intermédiaire entre les variétés topologiques et les variétés différentiables.

On remarquera que, dans toutes ces questions, «différentiable» signifie «de classe 暈^r », avec r fini (face=F0019 閭 1) ou infini, et peut même signifier «analytique». En effet, toute variété de classe 暈^r possède une structure de variété analytique et deux variétés analytiques qui sont 暈^r -difféomorphes sont analytiquement difféomorphes.

La dimension quatre

M. Freedmann est arrivé à démontrer, en 1981, que toute variété topologique (sans bord) V compacte de dimension quatre qui a le même type d’homotopie que la sphère – cela équivaut ici, en dimension 4, à dire que V est simplement connexe et que H²(V, Z) = 0 – est homéomorphe à cette sphère. La démonstration utilise des techniques très fines de chirurgie spécifique de la dimension 4. Mais on ne sait toujours pas, dans le cas différentiable, si elle lui est difféomorphe, et le problème des structures différentiables sur la sphère reste ouvert en dimension 4.

4. Plongements et isotopies

Un plongement de classe 暈 秊 de la variété V de classe 暈 秊 dans la variété W de classe 暈 秊 est un difféomorphisme de classe 暈 秊 de V sur une sous-variété de classe 暈 秊 de W ^{[cf. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES]}; il revient au même de dire que c’est une application de classe 暈 秊, propre, injective de V dans W, dont toutes les applications linéaires tangentes sont injectives. Deux plongements de classe 暈 秊, f et g , de V dans W sont dits isotopes s’il existe une application de classe 暈 秊 de V 憐 I dans W 憐 I, propre, injective, dont toutes les applications linéaires tangentes sont injectives et qui, pour tout t , envoie V 憐t dans W 憐t.

Pour tout t , la restriction h ^|V size=1^憐索t size=1^參 définit un plongement de V dans W; on doit considérer h comme un arc joignant f à g dans l’espace (dont il faudrait préciser la topologie) des plongements de V à W, de la même façon qu’une homotopie est un chemin dans l’espace des applications.

Les théorèmes de Whitney

Soit f : VW une application continue propre; si dim W 閭 1 + 2 dim V, l’application f est homotope à un plongement. Soit f ⁰ et f ¹ deux plongements de V dans W et h une homotopie propre de f ⁰ à f ¹; si dim W 閭 2 + 2 dim V, les applications g ⁰ et g ¹ sont isotopes (par une isotopie qui est homotope à h parmi les applications de V 憐 I dans W 憐 I qui coïncident avec h sur V 憐0, 1).

Ces deux théorèmes sont dus à H. Whitney, qui les a énoncés vers 1935. L’un des plus intéressants de leurs corollaires est que toute variété qui est réunion d’une famille dénombrable de compacts (pour qu’il existe une application propre de cette variété dans R) de dimension n est difféomorphe à une sous-variété de R^{2n +1}. C’est ce qui explique que, dans l’article VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES, pour une étude élémentaire, on puisse se permettre de n’étudier que les sous-variétés de R^N, l’entier N étant grand, sans perdre de généralité.

Plongements topologiques et semi-linéaires

Une sous-variété de dimension p d’une variété topologique (resp. d’une variété semi-linéaire) W, de dimension n , est un fermé X dont tout point possède un voisinage 行 dans W tel que ( 行, 行 惡 X) soit homéomorphe (resp.: semi-linéairement homéomorphe) à (R^p 憐 R^{n -p} , R^p 憐0). Un plongement de V dans W (où V et W sont topologiques ou semi-linéaires) est un homéomorphisme (resp. un homéomorphisme semi-linéaire) de V sur une sous-variété de W.

On peut se demander si une injection continue et propre de V dans W est un plongement; c’est vrai si dim W = 2 et dim V = 1 (cf. supra , chap. 1) et c’est aussi vrai dans le cas semi-linéaire si dim W 閭 3 + dim V, mais c’est en général faux. Construisons une injection continue de S¹ dans R³ qui n’est pas un plongement : considérons un cône de sommet O, que l’on découpe en une infinité de troncs de cône ⁰, ¹, etc. (cf. fig. 13); considérons des plongements f ⁱ : ITⁱ tels que f ⁿ (0) = 見ⁱ et f ⁿ (1) = 見^{i +1} et qui sont noués, c’est-à-dire non isotopes au plongement naturel le long de l’axe du cône parmi les plongements qui envoient 0 en 見ⁱ et 1 en 見^{i +1}; la figure X formée par les images des f ⁱ et par une ligne brisée qui joint 0 à 見⁰ est homéomorphe à S¹; mais il n’existe aucun voisinage 行 de O tel que ( 行, 行 惡 X) soit homéomorphe à (R 憐 R², R 憐0).

L’existence de telles injections montre que la définition mathématique de la continuité ne décrit qu’imparfaitement la notion intuitive de continuité. Cela est confirmé par différents autres phénomènes curieux, par exemple par le fait qu’il existe une application continue surjective de I sur le carré I 憐 I. Il ne faudrait pas croire que la géométrie des variétés semi-linéaires ou différentiables se rapproche plus de la notion physique de continuité; elles aussi présentent des phénomènes incompatibles avec l’expérience pratique.

Prolongements de petite codimension

Le problème de savoir si une application f : VW est homotope à un plongement n’est pas résolu dans toute sa généralité. Si dim W 麗 1 + 2 dim V, il se peut que la réponse soit négative; on connaît des conditions suffisantes, de nature homotopique, pour qu’elle soit positive. Il est curieux de constater qu’on peut trouver des variétés différentiables V et W et un plongement topologique f de V dans W qui ne soit pas homotope à un plongement différentiable. Les problèmes d’existence d’isotopies entre deux plongements de V dans W se traitent de la même façon. Toutes ces questions sont maintenant assez bien connues si l’on a dim W 閭 3 + dim V; les difficultés sont beaucoup plus grandes dans le cas où dim W = 2 + dim V: le chapitre 2, supra , en est une illustration.

5. Transversalité

L’utilisation des sous-variétés transverses et des fonctions génériques remonte aux premiers temps de la topologie des variétés : Poincaré se servit du fait que deux sous-variétés de Rⁿ de dimension q et n 漣 q n’ont «en général» que des points doubles isolés où les espaces tangents sont supplémentaires; il affirma également que toute fonction numérique sur une variété V peut, par une petite modification, être transformée en ce que l’on appelle maintenant une fonction de Morse . C’est R. Thom qui commença l’étude systématique de la transversalité, qui est devenue le principal outil de la topologie différentielle moderne. Bien que la théorie ait été généralisée récemment aux variétés semi-linéaires et aux variétés topologiques, pour tout ce qui suit on se place dans le cadre 暈 秊. Les variétés considérées ici sont chacune une réunion d’une famille dénombrable de compacts.

Théorèmes de disjonction

Soit V et W deux variétés et N un fermé de W; soit f une application continue de V dans W dont l’image ne rencontre pas N, soit d une distance sur W et soit m la distance de N à f (V). Si V est compacte, m est strictement positive et si g est une application de V dans W telle que d (f (x ), g (x )) 麗 m pour tout point x de V, alors g (V) ne rencontre pas N. Donc, si l’on munit l’ensemble Hom (V, W) des applications continues de V dans W de la topologie de la convergence uniforme (on vérifie qu’elle ne dépend pas de la distance d choisie sur W), l’ensemble des applications dont l’image ne rencontre pas N est un ouvert. Si V n’est pas compacte, on a le même résultat en munissant Hom (V, W) d’une topologie plus fine que la topologie de la convergence uniforme.

Si N est une sous-variété de W et si dim N + dim V 麗 dim W, on montre que cet ouvert est partout dense, c’est-à-dire que, dans tout voisinage d’une fonction arbitraire f : VW, il existe une application dont l’image ne rencontre pas N. Cette propriété de densité généralise le fait intuitif suivant : Si deux lignes L¹ et L² de l’espace se rencontrent, on peut les disjoindre en bougeant aussi peu qu’on veut l’une des deux. Cela n’est plus vrai pour deux lignes dans le plan, ou pour une ligne et une surface de l’espace, c’est-à-dire si l’hypothèse que l’on a faite sur les dimensions n’est pas vérifiée.

Définitions

Soit V et N deux sous-variétés de W, et l’on pose dim W = w , dim V = v et dim N = n ; on dit qu’elles sont transverses si, en chaque point x de V 惡 N, l’espace tangent à W en x est engendré par les vecteurs tangents en x à V et les vecteurs tangents en x à N. Si v + n 麗 w , il n’est pas possible qu’un espace vectoriel de dimension w soit engendré par la réunion d’un espace de dimension v et d’un espace de dimension n ; donc il n’y a pas de point dans V 惡 N. Si v + n 閭 w , le théorème des fonctions implicites entraîne qu’il existe un voisinage 行 de x dans W tel que ( 行, 行 惡 V, 行 惡 N) soit homéomorphe à (R^w , X^v, Yⁿ ), où X^v (resp. Yⁿ ) est le sous-espace vectoriel de R^w engendré par les v premiers (resp. les n derniers) vecteurs de la base; il en résulte que V 惡 N est une variété de dimension v + n 漣 w .

On dit qu’un plongement différentiable f de V dans W est transverse à la sous-variété N de W si f (V) et N sont des sous-variétés transverses de W. On définit aussi des fonctions f : VW transverses à N. On peut munir l’ensemble Hom size=1^秊 (V, W) des applications de classe 暈 秊 de V dans W d’une topologie telle que l’ensemble des fonctions transverses à N soit un ouvert partout dense.

Fibrés normaux

Soit X une variété de dimension x de la variété Y de dimension y . Considérons l’ensemble des vecteurs tangents à Y en un point de X; ils forment un fibré vectoriel 兀 de base X. Pour tout point x de X, la fibre en x du fibré tangent à X est un sous-espace vectoriel de la fibre de 兀, et on définit un fibré dont la fibre en x est leur quotient; on l’appelle le fibré normal à X dans Y et on le note 益^Y(X); c’est un fibré vectoriel réel de fibre R^{y -x} . Le fibré 兀 est la somme de 益^Y(X) et du fibré tangent à X. On démontre qu’il existe un voisinage 行 de X dans Y tel que le couple ( 行, X) soit homéomorphe au couple formé de 益^Y(X) et de sa section nulle; un tel voisinage s’appelle un voisinage tubulaire de X dans Y.

Si deux plongements de la variété X dans R^N sont isotopes, les fibrés normaux à leurs images sont isomorphes. Si N est assez grand devant la dimension de X, il existe des plongements de X dans R^N et deux d’entre eux sont isotopes; il existe donc un fibré vectoriel 益^N(X) de dimension N 漣 dim X, qui est isomorphe au fibré normal à l’image de chacun de ces plongements. On vérifie que 益^N+1(X) est la somme de 益^N(X) et d’un fibré trivial de dimension 1. Tous ces fibrés ont donc même classe stable 益(X), cette classe est appelée le fibré vectoriel stable normal à X. Ce fibré stable joue un grand rôle, extrêmement important en topologie différentielle, car beaucoup des propriétés de la variété X dépendent uniquement du type d’homotopie de X et de ce fibré.

Cobordisme

La transversalité intervient constamment en topologie différentielle. Historiquement, le calcul des groupes de cobordisme est la plus importante de ses applications.

On dit que deux variétés compactes sans bord, de dimension x sont cobordantes si leur réunion est le bord d’une variété compacte de dimension x + 1; cela définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des classes à difféomorphisme près de variétés compactes, sans bord, de dimension x ; on note face=F9796 N^x l’ensemble des classes d’équivalence. À tout couple de variétés, on peut associer leur réunion; on munit ainsi face=F9796 N^x d’une loi de groupe abélien, dont l’élément neutre est formé de la classe des variétés qui sont des bords. R. Thom et L. S. Pontriaguine ont calculé ces groupes; voici l’essentiel de la méthode.

Soit 﨡 un fibré vectoriel de fibre Rⁿ et de base une variété V, soit B 﨡 un fibré en boules fermées contenu dans 﨡 et soit S 﨡 le fibré en sphères qui est le bord de B 﨡; on notera M 﨡 l’espace topologique obtenu à partir de B 﨡 en contractant S 﨡 en un point m . Soit 見 une application de S^{x +n} dans M. Puisque le complémentaire Z de m dans M 﨡 est une variété, on peut supposer que la restriction de 﨏 à 﨏^-1(Z) est transverse à la section zéro de 﨡, qui est une sous-variété de Z isomorphe à V. L’image inverse de cette section zéro par 﨏 est une sous-variété de dimension x de S^{x +n} , qui est compacte et sans bord; on démontre que sa classe de cobordisme ne dépend que de la classe d’homotopie de 﨏. Si on prend pour fibré 﨡V le fibré vectoriel universel (cf. TOPOLOGIE - Topologie algébrique, chap. 4; ici, la base n’est pas une variété mais une limite de variétés) et si n est assez grand devant x , on peut montrer que cela définit un isomorphisme de 神^{x +n} (M 﨡) sur face=F9796 N^x . Cet argument permet donc de ramener le calcul de face=F9796 N^x à un problème de topologie algébrique. Un argument analogue est valable pour le calcul du groupe 行^x des classes de cobordisme des variétés orientées de dimension x . On en déduit en particulier que toute variété dont le fibré normal est trivial est le bord d’une variété orientée.

La théorie de Morse

On peut généraliser la théorie de la transversalité aux fonctions dérivées; cette généralisation donne une démonstration des théorèmes de plongement de Whitney (cf. chap. 4) et elle permet aussi d’approcher toute application différentiable par une application n’ayant que des singularités assez simples: c’est la théorie des applications génériques, due à R. Thom. Le cas le plus intéressant est celui des fonctions d’une variété V dans R.

On dit qu’un point m de la variété V est un point singulier de l’application f : VR (de classe 暈 秊), si l’application linéaire tangente à f en m est nulle. Ce point singulier est dit non dégénéré d’indice p , pour 0 諒 p 諒 dim V = n , s’il existe une carte locale 﨏: 行U 說 Rⁿ telle que 﨏(m ) = 0 et qu’on ait, en notant y ¹, ..., y ⁿ les fonctions coordonnées dans Rⁿ ,

Une fonction f de classe 暈 秊 de V dans R est appelée une fonction de Morse si elle n’a qu’un nombre fini de points singuliers m ¹, ..., m ^k , tous non dégénérés et tels que, pour i j , on ait f (m ⁿ ) f (m ^j ). On démontre que les fonctions de Morse forment un ouvert partout dense de l’espace Hom size=1^秊(V, R) pour la topologie déjà mentionnée (cf. Définitions , in chap. 5).

Considérons une variété W sans bord de dimension p et un plongement de S^k 憐 D^{p -k} dans W, c’est-à-dire un difféomorphisme de W sur la variété obtenue en recollant, le long de leur bord, S^k 憐 D^{n -k} et une variété W de dimension p , dont le bord est difféomorphe à S^k 憐 S^{n -k -1}. Considérons, d’autre part, un voisinage tubulaire X de S^k dans S^p ; il est difféomorphe à S^k 憐 D^{p -k} . On peut recoller la variété D^{p +1} à W 憐 I en identifiant X à

﨏(S^k 憐 D^{p -k} ) 憐1. On n’obtient pas une variété différentiable à bord de dimension p + 1, car ce bord a une ligne de pli; mais on peut arrondir ce pli et on obtient alors une variété face=F9796 W de dimension p + 1 dont le bord est formé de deux morceaux, l’un qui est difféomorphe à W, l’autre qui est une variété W¹, compacte, sans bord, de dimension p . On dit que face=F9796 W est obtenue en ajoutant une anse à W 憐 I le long de 﨏 (fig. 14 et 15).

On démontre que, si f : VR est une fonction de Morse de points singuliers m ¹, ..., m ^k , si m ^{j -1} 麗 見 麗 m ^j 麗 廓 麗 m ^{j +1} et si on note W la variété de niveau f ^-1( 見), qui est de dimension p = dim V 漣 1, la variété à bord face=F9796 W = f ^-1([ 見, 廓]) est obtenue en ajoutant une anse à W 憐 I; la variété W¹ est alors f ^-1( 廓). Cela entraîne que tout cobordisme entre deux variétés V⁰ et V¹ est difféomorphe à la variété obtenue à partir de V⁰ 憐 I, en ajoutant un certain nombre d’anses successivement. C’est le théorème de Morse ; il joue un rôle très important, en particulier dans la chirurgie et dans le théorème de h -cobordisme (cf. chap. 3).

6. Recherches actuelles

Variétés de dimension infinie

On peut étendre la notion de différentiabilité aux espaces de Banach (cf. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables, chap. 2); on peut donc définir des variétés modelées sur un espace de Banach B: chaque carte locale est un homéomorphisme d’un ouvert de B sur un ouvert de la variété. L’étude des variétés banachiques est intéressante pour deux raisons. D’une part, les espaces d’applications d’une variété de dimension finie dans une autre sont souvent localement homéomorphes à un espace vectoriel topologique; malheureusement, cet espace est rarement un espace de Banach, c’est en général un espace de Fréchet, et la théorie de la différentiabilité dans les espaces de Fréchet est à peu près impossible. D’autre part, on peut se poser, pour les variétés banachiques, les problèmes que l’on a soulevés aux chapitres 3, 4, 5 pour les variétés de dimension finie. Une telle étude est possible; si l’espace de Banach considéré est un espace de Hilbert séparable H, on a pu montrer que toute variété différentiable modelée sur H est difféomorphe à un ouvert de H.

Feuilletages

Soit X un système de Pfaff complètement intégrable de dimension p (cf. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES, chap. 5) sur la variété V. On appelle solution de X tout sous-espace F de V qui est localement une sous-variété de dimension p de V tangente en chacun de ses points à X. On montre que toute solution de X est contenue dans une unique solution maximale. Par définition, un feuilletage de dimension p sur V est la figure formée par l’ensemble des solutions d’un système de Pfaff complètement intégrable de dimension p ; les solutions maximales sont appelées les feuilles . Les problèmes posés par les feuilletages sont en général très difficiles et non résolus. Citons en quelques-uns: Par tout point m de V passe une unique feuille F^m ; comment le type d’homotopie de F^m varie-t-il avec m ? Existe-t-il des feuilles compactes? Existe-t-il des feuilletages de dimension donnée sur une variété donnée? Comment les feuilles varient-elles si on modifie légèrement le système de Pfaff X?

Quelques problèmes ouverts

La plus grande partie des problèmes posés il y a une vingtaine d’années sont résolus pour les variétés de dimension supérieure ou égale à 5. Il est remarquable que les méthodes qui furent inventées pour les résoudre sont inapplicables en dimension 3 ou 4. Techniquement, cette impossibilité est toujours une conséquence des difficultés de l’étude des plongements en codimension 2. Parmi les autres questions actuellement posées, on peut citer tout ce qui concerne l’étude approfondie des espaces de fonctions différentiables, en particulier l’étude de leur type d’homotopie et l’étude de la stabilité structurelle.

Encyclopédie Universelle. 2012.